回歸模型的性能的評價指標主要有：RMSE(平方根誤差)、MAE(平均絕對誤差)、MSE(平均平方誤差)、R2_score。但是當量綱不同時，RMSE、MAE、MSE難以衡量模型效果好壞。這就需要用到R2_score，實際使用時，會遇到許多問題，今天我們深度研究一下。

(資料圖片)

預備知識

搞清楚R2_score計算之前，我們還需要了解幾個統計學概念。

若用$y_i$表示真實的觀測值，用$\bar{y}$表示真實觀測值的平均值，用$\hat{y_i}$表示預測值,則：

回歸平方和：SSR

$$SSR = \sum_{i=1}^{n}(\hat{y_i} - \bar{y})^2$$

即估計值與平均值的誤差，反映自變量與因變量之間的相關程度的偏差平方和

殘差平方和：SSE

$$SSE = \sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y_i} )^2$$

即估計值與真實值的誤差，反映模型擬合程度

總離差平方和：SST

$$SST =SSR + SSE= \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2$$

即平均值與真實值的誤差，反映與數學期望的偏離程度

R2_score計算公式

R^2 score，即決定系數，反映因變量的全部變異能通過回歸關系被自變量解釋的比例。計算公式：

$$R^2=1-\frac{SSE}{SST}$$

即

$$R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)2}{\sum_{i=1}{n} (y_i - \bar{y})^2}$$

進一步化簡

$$R^2 = 1 - \frac{\sum\limits_i(y_i - y_i)^2 / n}{\sum\limits_i(y_i - \hat{y})^2 / n} = 1 - \frac{RMSE}{Var}$$

分子就變成了常用的評價指標均方誤差MSE，分母就變成了方差。

對于$R^2$可以通俗地理解為使用均值作為誤差基準，看預測誤差是否大于或者小于均值基準誤差。

R2_score = 1，樣本中預測值和真實值完全相等，沒有任何誤差，表示回歸分析中自變量對因變量的解釋越好。

R2_score = 0。此時分子等于分母，樣本的每項預測值都等于均值。

R2_score不是r的平方，也可能為負數(分子>分母)，模型等于盲猜，還不如直接計算目標變量的平均值。

r2_score使用方法

根據公式，我們可以寫出r2_score實現代碼

1- mean_squared_error(y_test,y_preditc)/ np.var(y_test)

也可以直接調用sklearn.metrics中的r2_score

sklearn.metrics.r2_score(y_true, y_pred, sample_weight=None, multioutput="uniform_average")

#y_true：觀測值

#y_pred：預測值

#sample_weight：樣本權重，默認None

#multioutput：多維輸入輸出，可選‘raw_values’, ‘uniform_average’, ‘variance_weighted’或None。默認為’uniform_average’;

raw_values：分別返回各維度得分

uniform_average：各輸出維度得分的平均

variance_weighted：對所有輸出的分數進行平均，并根據每個輸出的方差進行加權。

sklearn.metrics.r2_score使用方法

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

from sklearn import datasets, linear_model

from sklearn.metrics import r2_score

#導入數據

diabetes_X, diabetes_y = datasets.load_diabetes(return_X_y=True)

diabetes_X = diabetes_X[:, np.newaxis, 2]

#劃分測試集驗證集

diabetes_X_train = diabetes_X[:-20]

diabetes_X_test = diabetes_X[-20:]

diabetes_y_train = diabetes_y[:-20]

diabetes_y_test = diabetes_y[-20:]

# 創建線性回歸模型

regr = linear_model.LinearRegression()

# 訓練模型

regr.fit(diabetes_X_train, diabetes_y_train)

# 預測

diabetes_y_pred = regr.predict(diabetes_X_test)

# 模型評價

print("r2_score: %.2f"

% r2_score(diabetes_y_test, diabetes_y_pred))

# 繪制預測效果圖

plt.scatter(diabetes_X_test, diabetes_y_test, color="black")

plt.plot(diabetes_X_test, diabetes_y_pred, color="blue", linewidth=3)

plt.xticks(())

plt.yticks(())

plt.show()

r2_score: 0.47

r2_score偏小，預測效果一般。

注意事項

1、$R^2$ 一般用在線性模型中(非線性模型也可以用)

2、$R^2$不能完全反映模型預測能力的高低,某個實際觀測的自變量取值范圍很窄，但此時所建模型的R2 很大，但這并不代表模型在外推應用時的效果肯定會很好。

3、數據集的樣本越大，R2越大，因此，不同數據集的模型結果比較會有一定的誤差，此時可以使用Adjusted R-Square (校正決定系數),能對添加的非顯著變量給出懲罰:

$$R2_{\text{Adj}}=1-(1-R2)\frac{n-p-1}{n-1}$$

n是樣本的個數，p是變量的個數

Reference